Equazione di secondo grado: calcolo del delta e soluzioni

Risolvere un'equazione di secondo grado, passo dopo passo

Questo strumento risolve qualsiasi equazione di secondo grado nella forma ax² + bx + c = 0. Calcola il delta, scrive le soluzioni esatte come frazioni ridotte e radicali semplificati, poi i valori approssimati. Mostra anche la forma canonica, il vertice della parabola, la scomposizione in fattori, la somma e il prodotto delle radici, e disegna il grafico.

Ogni passaggio è scritto come sul quaderno del biennio o del triennio delle superiori: si può controllare un esercizio riga per riga.

Come si usa

1. In «Coefficienti a, b, c» inserisci i tre numeri: interi, decimali o frazioni come 1/2. Una casella vuota vale 0.
2. Oppure scegli «Scrivi l'equazione» e digitala così com'è, per esempio 3x^2 = 2x + 1. Lo strumento porta tutto a sinistra e ottiene 3x² − 2x − 1 = 0.
3. Le soluzioni compaiono mentre scrivi. Sotto trovi la «Risoluzione passo passo»; spunta «Mostra lo studio del segno» se ti serve.
4. «Copia il risultato» copia tutto come testo. L'ultimo inserimento resta salvato sul tuo dispositivo.

Il delta e i suoi tre casi

Il calcolo del delta è il primo passo: Δ = b² − 4ac. La formula risolutiva è:

x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)

• Δ > 0: due soluzioni reali distinte.
• Δ = 0: due soluzioni reali coincidenti, x = −b / (2a).
• Δ < 0: nessuna soluzione reale; l'equazione è impossibile in ℝ. Le soluzioni sono complesse coniugate, (−b ± i√−Δ) / (2a). Per x² + x + 1 = 0, Δ = −3 e lo strumento mostra −1/2 ± (√3/2)i.

Un esempio completo

Risolviamo 4x² − 4x − 3 = 0, con a = 4, b = −4 e c = −3.

1. Δ = (−4)² − 4 · 4 · (−3) = 16 + 48 = 64.
2. Δ > 0 e √64 = 8, quindi x₁ = (4 − 8) / 8 = −1/2 e x₂ = (4 + 8) / 8 = 3/2.
3. Verifica: 4 · (3/2)² − 4 · 3/2 − 3 = 9 − 6 − 3 = 0.

Quando b è pari, a scuola si usa spesso la formula ridotta con il «delta quarti»: Δ/4 = (b/2)² − ac = 4 + 12 = 16, e x = (2 ± 4) / 4, con lo stesso risultato. Lo strumento usa sempre la formula completa.

Se Δ non è un quadrato perfetto, il risultato resta esatto. Per x² − 3x + 1 = 0, Δ = 5 e le soluzioni sono (3 − √5)/2 ≈ 0,382 e (3 + √5)/2 ≈ 2,618. Per x² − 12 = 0, Δ = 48 e √48 = √(16 · 3) = 4√3, quindi x = ±2√3.

Forma canonica e vertice

Con il completamento del quadrato ogni trinomio diventa a(x − α)² + β, con α = −b / (2a) e β = −Δ / (4a). Il punto (α; β) è il vertice della parabola, indicato con S nel grafico. Nell'esempio, 4x² − 4x − 3 = 4(x − 1/2)² − 4: il vertice è (1/2; −4) e il minimo vale −4. Allo stesso modo, 2x² − 4x + 1 = 2(x − 1)² − 1.

Scomposizione, somma e prodotto

Con Δ > 0 il trinomio si scompone in a(x − x₁)(x − x₂): 4x² − 4x − 3 = 4(x + 1/2)(x − 3/2), cioè (2x + 1)(2x − 3). Con Δ = 0 si ottiene a(x − x₁)². Con Δ < 0 non si scompone con numeri reali.

Le radici verificano sempre x₁ + x₂ = −b/a e x₁ · x₂ = c/a. Qui −1/2 + 3/2 = 1 e −1/2 · 3/2 = −3/4. È un controllo rapido, utile anche per trovare a mente radici intere.

Il legame con la parabola

Le soluzioni sono le ascisse dei punti in cui la parabola y = ax² + bx + c taglia l'asse x. Il grafico le segna in rosso: due intersezioni se Δ > 0, un punto di tangenza se Δ = 0, nessuna se Δ < 0. La concavità è verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0. Da qui lo studio del segno, utile per le disequazioni: fuori dalle radici f(x) ha il segno di a, tra le radici il segno opposto.

Domande frequenti

Che cosa succede se a = 0?

L'equazione diventa di primo grado, bx + c = 0, e lo strumento la risolve comunque: 2x + 4 = 0 dà x = −2. Se anche b = 0, è impossibile quando c ≠ 0 e indeterminata (infinite soluzioni) quando c = 0.

Posso inserire frazioni o decimali?

Sì. 0,5 viene letto come 1/2 e i calcoli restano esatti. Con (1/2)x² − x − 4 = 0, Δ = 9 e le soluzioni sono −2 e 4.

Perché scrive 2√3 e non 3,4641?

A scuola si chiede il risultato esatto con il radicale semplificato. Lo strumento porta fuori il quadrato più grande e dà anche il valore approssimato a 4 decimali.

Come scrivo l'equazione con la tastiera?

Usa x^2 o x², e * o niente per moltiplicare: 2x^2 - 3x + 1 = 0. I termini possono stare a entrambi i lati del segno = e le parentesi sono ammesse.