Calcolo MCD e mcm online con passaggi

Calcolo di MCD e mcm con tutti i passaggi

Questo strumento esegue il calcolo di MCD e mcm di 2 a 10 numeri interi: trova il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo e mostra come ci si arriva. Scrive l'algoritmo di Euclide divisione per divisione, la scomposizione in fattori primi con i fattori comuni evidenziati e, se vuoi, il metodo delle sottrazioni, l'elenco dei divisori e l'identità di Bézout. Utile per controllare gli esercizi delle medie e delle superiori.

Come si usa

1. In «Numeri interi (da 2 a 10)» scrivi i numeri separati da virgole, spazi o punti e virgola, per esempio 150, 105.
2. Le caselle «MCD (massimo comun divisore)» e «mcm (minimo comune multiplo)» si compilano subito. Una riga indica se i numeri sono primi tra loro.
3. Spunta «Metodo delle sottrazioni», «Elenco dei divisori» o «Identità di Bézout» per aggiungere questi metodi ai «Passaggi del calcolo». «Scomposizione in fattori primi» è già spuntata.
4. «Copia il risultato» copia il risultato e tutti i passaggi.

Ogni numero può avere fino a 60 cifre: il calcolo usa interi esatti, senza arrotondamenti.

Tre metodi per il MCD

Il MCD di due numeri è il più grande intero che li divide entrambi. Il mcm è il più piccolo numero diverso da 0 multiplo di entrambi. Prendiamo 150 e 105.

Elenco dei divisori. I divisori di 105 sono 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 e 105. Di questi, dividono anche 150 l'1, il 3, il 5 e il 15: il MCD è 15. Va bene con numeri piccoli.

Algoritmo di Euclide. Si divide il maggiore per il minore: 150 = 1 × 105 + 45. Poi il divisore per il resto: 105 = 2 × 45 + 15. Infine 45 = 3 × 15 + 0. Il resto è 0, quindi l'ultimo divisore, 15, è il MCD.

Fattori primi. 150 = 2 × 3 × 5² e 105 = 3 × 5 × 7. Per il MCD si prendono i fattori comuni con l'esponente minore: 3 × 5 = 15. Per il mcm, i fattori comuni e non comuni con l'esponente maggiore: 2 × 3 × 5² × 7 = 1050.

Con due numeri vale sempre MCD × mcm = a × b: 15 × 1050 = 15.750 = 150 × 105. Lo strumento lo mostra nella riga «Verifica».

A che cosa servono MCD e mcm

• Semplificare le frazioni: si dividono numeratore e denominatore per il MCD. 105/150 diventa 7/10 dividendo per 15.
• Trovare il denominatore comune: il mcm dei denominatori è il minimo comune denominatore. Per 1/10 + 1/15, mcm(10, 15) = 30, quindi 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6.
• Problemi di suddivisione: con 150 caramelle e 105 cioccolatini si vogliono preparare più sacchetti uguali possibile, senza avanzi. Saranno 15, ciascuno con 10 caramelle e 7 cioccolatini.

Con «Identità di Bézout» lo strumento trova anche due interi u e v tali che 150u + 105v = 15, qui u = −2 e v = 3, con l'algoritmo di Euclide esteso presentato in tabella.

Domande frequenti

Come si calcola il MCD di tre o più numeri?

Si calcola il MCD dei primi due, poi il MCD di quel risultato con il terzo, e così via. Per 12, 18 e 30: MCD(12, 18) = 6, poi MCD(6, 30) = 6. Per il mcm è uguale: mcm(12, 18) = 36, poi mcm(36, 30) = 180.

Che cosa vuol dire «primi tra loro»?

Due numeri sono primi tra loro, o coprimi, quando il loro MCD è 1. Succede per 14 e 25, anche se nessuno dei due è primo. Il loro mcm è allora il prodotto, 350.

Che cosa succede con lo 0 o con i numeri negativi?

Ogni intero divide 0, quindi MCD(0, 15) = 15 e il mcm vale 0. Il MCD di due zeri non è definito e lo strumento lo segnala. I segni meno vengono ignorati, perché MCD e mcm si calcolano sui valori assoluti.